2.2.1 求解方程

2.2.2 滾珠公轉速度分析

要確定滾珠的離心力及陀螺力矩大小，首先需要對 滾珠絲杠副工作時的一般運動關系進行分析，確定滾珠 自轉、公轉速度與絲杠轉速之間的關系。通常情況下， 三者與滾珠接觸角之間存在耦合關系。如圖 3b 所示，滾 珠絲杠副在工作時滾珠會同時繞著自身軸線自轉和絲杠 軸線公轉：軸 1 為滾珠公轉軸線；軸 2 為滾珠自轉軸線。

3 非線性方程求解

式（23）、式（24）組成的方程組，為具有很高的非線性程度的非線性方程組，必須通過一定的數值解法對其進行求解[20-24]。本文采用 Newton-Raphson 迭代法進行求解，其求解流程如圖 4 所示。

4 案例及討論

根據所建立的動態接觸角求解模型，對不同結構參數的滾珠絲杠副模型進行求解。首先分析了工作運行中負載和轉速對接觸角的影響，接著分別在 Fa=1 000 N、ω=2 000 r/min，Fa=1 000 N、ω=4 000 r/min 和 Fa=1 500 N、ω=4 000 r/min 的工況，分析了包括間隙、公稱直徑、螺旋升角、滾珠直徑及滾珠數量在內的結構參數對滾珠絲杠副接觸角的影響情況。滾珠絲桿副相關結構參數如下：原始接觸角為 45°，絲杠滾道曲率半徑系數 fi與螺母滾道曲率半徑系數 fo均為 0.542。

4.1 工況對接觸角的影響

當滾珠絲杠副螺旋升角λ=5.65°，滾珠直徑 Dw=6.33 mm，公稱直徑 dm=41.4 mm，滾珠數量 N=45 個，間隙量 Pd=0 時，工況對滾珠絲杠副接觸角影響如圖 5 所示。工作過程中的滾珠絲杠副，滾珠與絲杠滾道接觸角（內接觸角）αi 始終比滾珠與螺母滾道接觸角（外接觸角）αo 大。轉速對滾珠絲杠副接觸角影響如圖 5a 所示。隨著絲杠轉速 ω 升高，αi 增大、αo 減小。滾珠絲杠副運轉時，外滾道給滾珠提供一定的徑向力以克服運行時離心力。隨著轉速 ω 上升，滾珠的離心力越大，αi和 αo差 值也隨之增大。載荷對滾珠絲杠副接觸角影響如圖 5b 所示。隨著工作負載 Fa 增大，αo 呈上升趨勢，αi 隨轉速不同而不同， 有單向遞增和先減小后增大 2 種情況，從圖 5c、5d 可以更明顯的看出。轉速為 1 000、2 000 r/min 時，αi隨著載 荷增大而增大；而在轉速為 4 000 r/min 時，αi隨著載荷增大先減小后增大。低速時，負載 Fa增大導致兩側滾道變形量增加，因而 αi、αo 也變大；而在高速、低載時，離心力導致外滾道接觸載荷徑向分量較大，需要內滾道提供接觸負荷來平衡，因而轉速 4 000 r/min 時，αi表現為先減小后增大。

圖 5a 是給定具體結構參數下的滾珠絲杠副轉速對接 觸角的影響結果，與簡化了結構參數進行建模計算的文 獻[9]和文獻[12]的結果進行對比，發現其變化趨勢一致： 隨著轉速上升，內接觸角增大、外接觸角減??；大致呈 現為三次函數的關系。

4.2 結構參數對接觸角的影響

本部分討論間隙量 Pd、公稱直徑 dm、滾珠直徑 Dw、 螺旋升角λ、滾珠數量 N 等結構參數對接觸角的影響。

當 Dw=6.33 mm、λ=5.65°、dm=41.4 mm、N=45 時， 間隙量對滾珠絲杠副接觸角影響如圖 6a 所示。隨著滾珠 與滾道間間隙量的增大，αi、αo以幾乎相同的速率線性增 長，當間隙量每增大 0.1 mm 時，內、外接觸角增大約為 7°。造成內外接觸角同時增大的原因是因為間隙的存在會 導致滾珠與滾道間的初始接觸角增大，進而致使最終內 外接觸角都增大。 當 Dw=6.33 mm、λ=5.65°、N=45，Pd=0 時，公稱直 徑對滾珠絲杠副接觸角影響如圖 6b 所示。同一工況下運 行的公稱直徑越大的滾珠絲杠副，αi越大、αo越小，其變 化呈近似線性關系，兩者變化速率幾乎相等。公稱直徑 越大的滾珠絲杠副在運轉時滾珠所需離心力也越大，徑 向方向需要外滾道提供更大接觸負荷。 當λ=5.65°、dm=41.4 mm、N=45，Pd=0 時，滾珠直徑 對滾珠絲杠副接觸角影響如圖 6c 所示。Dw 增大時，αo 整體呈下降趨勢，而 αi 先減小后增大，且在 Dw≈5 mm 時處于最低點。當直徑約小于 5 mm 時，絲杠側接觸角隨 滾珠直徑的增大而減小，當直徑約大于 5 mm 時，絲杠側 接觸角隨滾珠直徑增大而增大。

當 Dw=6.33 mm、dm=41.4 mm、N=45、Pd=0 時，螺 旋升角對滾珠絲杠副接觸角影響如圖 6d 所示。同一工況 下滾珠絲杠副，螺旋升角大的 αi 呈現出一定的線性下降 趨勢，αo 呈現出線性上升趨勢，但其變化量很小，當螺 旋升角每增大 1°，內、外接觸角變化量均不到 0.006°。

當 Dw=6.33 mm、λ=5.65°、dm=41.4 mm、Pd=0 時， 滾珠數量對滾珠絲杠副接觸角影響如圖 6e 所示。滾珠數 量增加時，αo呈下降趨勢，而 αi的變化趨勢跟工況有關， 有單向遞減和先減小后增大 2 種情況。具體而言，根據 圖 6e 所示，在 Fa=1 000 N、ω=2 000 r/min 時，αi隨著滾 珠數量增加而減??；而在 Fa=1 000 N、ω=4 000 r/min 和 Fa=1 500 N、ω=4 000 r/min 時，隨著滾珠數增加，αi先減 小后增大。

5 結 論

基于 Hertz 理論和滾道控制理論，建立了面向結構參 數的滾珠絲杠副動態接觸角模型，通過實例分析，研究 了滾珠絲杠副結構參數對接觸角的影響。結果表明：

1）工作時，絲杠側的內接觸角始終大于螺母側外接 觸角。絲杠轉速增加，內接觸角隨之增大，而外接觸角 則減??；低速時，內、外接觸角隨負載增加同時增大， 但差值減??；在高速、低載工況下，內接觸角會隨負載 增大先減小后增大，而外接觸角則單向增大，內外接觸 角差值依然減小。

2）內、外接觸角隨間隙增大而增大：間隙量增大 0.1 mm，內、外接觸角增大約 7°；外接觸角隨公稱直徑 增大而減小，而內接觸角則反之；滾珠直徑和滾珠數量 對接觸角的影響規律相似，外接觸角隨著滾珠直徑或滾 珠數量的增加而減小，而內接觸角則隨之先減小后增大； 螺旋升角變化對接觸角影響很小，螺旋升角增大 1°，內、 外接觸角變化幅值均不到 0.006°。