滾珠絲杠副由于定位精度和傳動效率高、發熱少、使用壽命長等優點，已成為工業、農業、民用領域研究及生產自動化裝置的重要部件，也是高檔數控機床等高精度產品的核心組成部件。接觸角作為滾珠絲杠副重要的結構參數，對滾珠絲副的承載能力、傳動效率及定位精度等起著決定性作用。

國內外滾珠絲杠副接觸角研究集中在接觸角與載荷、轉速的關系方面，主要體現在負載、接觸、變形等。Mei 等對滾珠絲杠副負載分布與接觸角之間的關系進行了研究，發現接觸角的變化會造成滾珠接觸負載的改變；Lin 等建立了滾珠絲杠副動力學模型，對工作滾珠與絲杠和螺母滾道接觸狀態進行了研究，指出接觸角的大小會隨轉速、負載等工況的不同而發生變化；相關學者基于 Lin 的理論基礎，通過建立滾珠絲杠副動力學模型得到了接觸角與載荷、接觸變形之間的影響關系；

1 滾珠絲杠副動態接觸角建模

滾珠絲杠副幾何模型如圖 1a 所示。滾珠在滾道中以一定的角度與絲杠和螺母兩側滾道進行接觸，期間接觸角大小會隨著滾珠絲杠副各結構參數和工況的不同而發生變化。為了使問題得到簡化，準確的構造求解模型，本文做出以下假設：1）滾珠桿副中各滾珠受力均勻；2）假設滾珠不出現打滑現象；3）滾珠與滾道之間為點接觸。

1.1 滾珠絲杠副動力學方程

滾珠絲杠副工作時滾珠受載荷情況如圖 1b 所示。在載荷 Fa 作用下，滾珠受到絲杠及螺母滾道對其的接觸負荷 Qs、Qn；滾珠自轉時由于自轉軸線與絲杠軸線不平行而產生的陀螺力矩 Mg；滾珠公轉時產生的離心力 Fc。

工作運轉的滾珠絲杠副作為一個整體，作用于螺母上的負載應該平衡，由螺母受力平衡可知

1.2 滾珠絲杠副幾何變形方程

滾珠絲杠副在工作過程主要為軸向受載，綜合考慮間隙 Pd及實際接觸角變化的影響，其變形情況如圖 2 所示。螺母滾道中心 On固定在此空間，受載前，滾珠與滾道兩側接觸角均為 α0；受載后，由于工作負載和離心力的共同作用，滾珠中心由 O’移至O，滾珠與螺母滾道和絲杠滾道接觸角變為 αo，αi。

根據 Hertz 接觸理論[15]：兩相物體受壓接觸后產生的應變分布和局部應力存在一定的關系，得滾珠與滾道的接觸載荷及其變形關系為

式（11）－式（12）共包含基本非線性方程 2 個、基本未知量 αo、αi、ko、ki、Fc、Mg 6 個，方程數遠小于未知變量數，因此還必須通過建立輔助方程補充方程或消去未知量簡化方程的方法使原方程組基本方程數和基本未知量相等，才能使方程組得以求解。

2 面向結構參數的動態接觸角模型

2.1 接觸剛度 ki、ko

2.1.1 接觸剛度求解方程

接觸剛度反映了兩物體在接觸時抵抗變形的能力，滾珠絲杠副接觸剛度的研究是滾珠絲杠副動態接觸角計 算的基礎。由于滾珠與滾道之間為點接觸，由文獻可知，接觸剛度為

2.1.2 接觸點主曲率函數分析

由 Hertz 點接觸理論可知，要求得載荷與變形量之間的關系，必須先求得接觸物體在接觸點的主曲率值。滾珠或滾道表面在滾珠絲杠副徑向平面和軸向平面內的曲率稱之為主曲率，滾珠絲杠副中滾珠與滾道表面的主曲率描述了滾珠與滾道表面在接觸點的幾何特征，它影響到滾珠絲杠副的接觸應力及變形。滾珠絲杠副在工作時，滾珠與螺母、絲杠的接觸情況如圖 3a 所示。

滾珠與絲杠滾道面接觸點處的 4 個主曲率分別為

式中 ρ11、ρ12、ρ21和 ρ22為滾珠與滾道接觸點處的主曲率。

圖 3 滾珠絲杠副接觸狀態分析

聯立式（13）－式（17）可求得接觸剛度 ki 和 ko。經過以上分析可以看出，接觸剛度 k 只與滾珠絲杠副的結構尺寸相關，與滾珠絲杠副運行的工況無關。